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01
Comprendre la notion
Pour deux réels positifs a et b, la moyenne arithmétique est (a + b)/2 et la moyenne géométrique est √(ab). La première est toujours supérieure ou égale à la seconde.
02
La méthode à retenir
On part de (√a − √b)² ≥ 0, puis on développe. Le cas d’égalité se produit exactement lorsque a = b. Toujours vérifier les hypothèses de positivité.
\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\qquad(a,b\geq0)
03
Un exemple pas à pas
Si a + b = 10 et a, b ≥ 0, alors ab ≤ 25. Le maximum est atteint pour a = b = 5.
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